第11章 简单的数学题
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数学考试试卷发下来了，端木很快开始答题。数学端木还是非常自信的，一路平A过去就完事了。
先从选择题开始答题
1、已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=
（A）｛-1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝
端木试了一下1肯定是不行的，这样就直接排除掉B、C、D，选A
2、若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=
（A）-1（B）0（C）1（D）2
端木数学上的感觉也很好，直接试一下0就符合等式成立，选B
第三道选择题是道简单的图表题，很容易。
4、等比数列｛an｝满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=
（A）21（B）42（C）63（D）84
第四道选择题也不难，一个等比数列均匀抽项而成的数列也是等比数列，重新构造成一个新的数列，由原来等比数列的奇数次项组成，{a1，a3，a5，a7，……}，这个新数列公比为2，这样一个数列，{3，6，12，24，48，……}。6+12+24=42。
故选B。
第五题考分段函数，不难。
第六题考三视图的掌握，容易。
第七道题考的是空间两点距离公式，套公式就完事了。
第八题程序框图，简直小儿科，第9、10题当年做错了，现在端木可不上当了，直接就选了两道题剩下的答案，除了当年选择题端木扣了10分之外，端木整张卷面别的地方就扣了六分。
曾经难不住端木的地方，现在更别想难得住端木。几乎一马平川，很快端木就将整张试卷做的就剩下圆锥曲线和导数的应用那两道大题，每道题12分。
端木先看了21导数那道题，只见题目是：
21、设函数f（x）＝e^(mx)+x^2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1)-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围。
端木知道这道题是要利用导数研究函数的单调性，同时利用导数研究函数的最值．这道题是考察导数的概念及应用。端木简单分析了一下（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论，不难证明第一问。而第二问可以直接把第一问证明得到的结论拿过来用。（1）中证毕，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则将第二问所问的恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围。
有了思路之后端木在草纸上算了一下之后，将答案直接写在答题纸上。
解：（1）证明：f′（x)=m[e^(mx)-1]+2x．
若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，e^(mx)-1≤0，f′（x）<0；当x∈（0，+∞）时，e^(mx)-1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（-∞，0）时，e^(mx)-1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e^(mx)-1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x＝0处取得最小值．
……
当m∈[-1，1]时，g（m）≤0，g（-m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e^m-m＞e﹣1．
当m＜-1时，g（-m）＞0，即e^(-m)+m＞-1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1]。
紧跟着端木就将注意力转意到圆锥曲线那道题。
20、已知椭圆C：9x^2+y^2＝m^2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（m/3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
关于圆锥曲线的题对于高中时代学生来说主要是看起来计算量比较大，比较麻烦。但并没有说是特别难，难到一点思路都没有那种地步。像这道题，联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到第一问的结论。第二问中四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，建立方程关系即可得到结论。
最后端木证明了第一问之后，对于第二问列出关系方程，最后求得当l的斜率为四加减根号七时，都可以使四边形OAPB能为平行四边形。
做完之后端木又仔细检查了几遍。这次端木倒是没有提前交。
毕竟语文考试结束时是中午，数学考试结束都快晚上了，装逼早晚容易翻车，所以端木辰良就决定了以后装逼只在中午。
考试结束出来后，看见袁泉好像有意思跟自己一起走，端木就跟她一块走。还没等端木说什么呢，袁泉就开始哭诉起来题目如何如何变态，自己考砸了......
端木是一句都没听进去，你一个当年考到水木生物系的你跟我说你考砸了，端木一个字都不信。不过，端木也蛮好奇的，不应该啊，当年袁泉没给自己诉苦啊，端木感觉到十分奇怪，端木对袁泉诉苦的行为奇怪，更对袁泉的诉苦方式奇怪，一个女人将自己柔弱的一面展示给一个男人，袁泉在跟自己示好？端木总觉得在哪里见过这个画面。
端木想起来，在非洲大草原，雌性狮子向雄性狮子示好的时候就将自己柔软的肚皮展示给雄狮看。明明袁泉考得很不错，还要摆出一副低姿态，端木纠结了，到底是无意中波动的哪一条弦而引发的一系列余音才会让袁泉这么做呢。
端木还没有傻到去安慰袁泉，而是直接说你要考砸了我就炸了，尽管袁泉姿态摆得很低，但就像狮子无论再怎么把自己脆弱的部分摆给雄狮看，可她毕竟还是狮子，狮子的尊严是需要维护的，此时的端木只不过是披着一层狮子的皮罢了，没有资格去安慰另一头真正的狮子。
只有等自己真的足够强大的时候，成为狮王的时候，现在的这些狮子才能变成真正乖巧的绵羊。
数学考试试卷发下来了，端木很快开始答题。数学端木还是非常自信的，一路平A过去就完事了。
先从选择题开始答题
1、已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=
（A）｛-1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝
端木试了一下1肯定是不行的，这样就直接排除掉B、C、D，选A
2、若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=
（A）-1（B）0（C）1（D）2
端木数学上的感觉也很好，直接试一下0就符合等式成立，选B
第三道选择题是道简单的图表题，很容易。
4、等比数列｛an｝满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=
（A）21（B）42（C）63（D）84
第四道选择题也不难，一个等比数列均匀抽项而成的数列也是等比数列，重新构造成一个新的数列，由原来等比数列的奇数次项组成，{a1，a3，a5，a7，……}，这个新数列公比为2，这样一个数列，{3，6，12，24，48，……}。6+12+24=42。
故选B。
第五题考分段函数，不难。
第六题考三视图的掌握，容易。
第七道题考的是空间两点距离公式，套公式就完事了。
第八题程序框图，简直小儿科，第9、10题当年做错了，现在端木可不上当了，直接就选了两道题剩下的答案，除了当年选择题端木扣了10分之外，端木整张卷面别的地方就扣了六分。
曾经难不住端木的地方，现在更别想难得住端木。几乎一马平川，很快端木就将整张试卷做的就剩下圆锥曲线和导数的应用那两道大题，每道题12分。
端木先看了21导数那道题，只见题目是：
21、设函数f（x）＝e^(mx)+x^2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1)-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围。
端木知道这道题是要利用导数研究函数的单调性，同时利用导数研究函数的最值．这道题是考察导数的概念及应用。端木简单分析了一下（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论，不难证明第一问。而第二问可以直接把第一问证明得到的结论拿过来用。（1）中证毕，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则将第二问所问的恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围。
有了思路之后端木在草纸上算了一下之后，将答案直接写在答题纸上。
解：（1）证明：f′（x)=m[e^(mx)-1]+2x．
若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，e^(mx)-1≤0，f′（x）<0；当x∈（0，+∞）时，e^(mx)-1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（-∞，0）时，e^(mx)-1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e^(mx)-1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x＝0处取得最小值．
……
当m∈[-1，1]时，g（m）≤0，g（-m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e^m-m＞e﹣1．
当m＜-1时，g（-m）＞0，即e^(-m)+m＞-1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1]。
紧跟着端木就将注意力转意到圆锥曲线那道题。
20、已知椭圆C：9x^2+y^2＝m^2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（m/3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
关于圆锥曲线的题对于高中时代学生来说主要是看起来计算量比较大，比较麻烦。但并没有说是特别难，难到一点思路都没有那种地步。像这道题，联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到第一问的结论。第二问中四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，建立方程关系即可得到结论。
最后端木证明了第一问之后，对于第二问列出关系方程，最后求得当l的斜率为四加减根号七时，都可以使四边形OAPB能为平行四边形。
做完之后端木又仔细检查了几遍。这次端木倒是没有提前交。
毕竟语文考试结束时是中午，数学考试结束都快晚上了，装逼早晚容易翻车，所以端木辰良就决定了以后装逼只在中午。
考试结束出来后，看见袁泉好像有意思跟自己一起走，端木就跟她一块走。还没等端木说什么呢，袁泉就开始哭诉起来题目如何如何变态，自己考砸了......
端木是一句都没听进去，你一个当年考到水木生物系的你跟我说你考砸了，端木一个字都不信。不过，端木也蛮好奇的，不应该啊，当年袁泉没给自己诉苦啊，端木感觉到十分奇怪，端木对袁泉诉苦的行为奇怪，更对袁泉的诉苦方式奇怪，一个女人将自己柔弱的一面展示给一个男人，袁泉在跟自己示好？端木总觉得在哪里见过这个画面。
端木想起来，在非洲大草原，雌性狮子向雄性狮子示好的时候就将自己柔软的肚皮展示给雄狮看。明明袁泉考得很不错，还要摆出一副低姿态，端木纠结了，到底是无意中波动的哪一条弦而引发的一系列余音才会让袁泉这么做呢。
端木还没有傻到去安慰袁泉，而是直接说你要考砸了我就炸了，尽管袁泉姿态摆得很低，但就像狮子无论再怎么把自己脆弱的部分摆给雄狮看，可她毕竟还是狮子，狮子的尊严是需要维护的，此时的端木只不过是披着一层狮子的皮罢了，没有资格去安慰另一头真正的狮子。
只有等自己真的足够强大的时候，成为狮王的时候，现在的这些狮子才能变成真正乖巧的绵羊。